Question

已知拋物線與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸交于點C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD∥CB交拋物線于點D，求四邊形ACBD的面積；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過解方程求出A、B的坐標，代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．（由于A、B的坐標是方程的兩個根，那么拋物線的解析式其實就是二次項系數與方程的代數式部分的乘積）．
（2）可將四邊形分成三角形ABC和ABD兩部分求解，已知了AB的長，關鍵是求出C、D的坐標，根據拋物線的解析式即可得出C點的坐標．求D點坐標時，可先求出直線BC的解析式，根據BC∥AD，那么直線AD與直線BC的斜率相同，根據A點坐標即可求出直線AD的解析式，聯立拋物線即可求出D點的坐標，然后按上面所說的四邊形的面積求法進行計算即可．
（3）先根據直線AC、BC的解析式設出P、Q的坐標（由于P、Q的縱坐標相同，因此可設縱坐標，然后根據直線解析式表示出橫坐標）．分三種情況：
①PQ=PR，此時P點縱坐標與PQ的長相等，據此可求出P點的坐標．進而可求出R的坐標．
②PQ=QR，同①
③PR=QR，R在PQ的垂直平分線上，此時P點的縱坐標是PQ的一半．由此可求出P點的坐標．進而可求出R的坐標．
解答：解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得x₁=-1，x₂=3．
∴點A（-1，0），點B（3，0）．
∴，
解，得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）∵拋物線與y軸交于點C．
∴點C的坐標為（0，2）．
又點B（3，0），可求直線BC的解析式為y=-x+2．
∵AD∥CB，
∴設直線AD的解析式為y=-x+b′．
又點A（-1，0），
∴b′=-，直線AD的解析式為y=-x-．
解，
得，
∴點D的坐標為（4，）．
過點D作DD’⊥x軸于D’，DD’=，則又AB=4．
∴四邊形ACBD的面積S=AB•OC+AB•DD’=．

（3）假設存在滿足條件的點R，設直線l交y軸于點E（0，m），
∵點P不與點A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵點A（-1，0），點C（0，2），
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2，
∴點P（m-1，m）．
∵直線BC的解析式為y=-x+2，
∴點Q（-m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①當RQ為底時，過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
∴-2m+4=m，
解得m=，
∴點P（-，），
∴點R₁坐標為（，0）．
②當RP為底時，過點Q作QR₂⊥x軸于點R₂，
同理可求，點R₂坐標為（1，0）．
③當PQ為底時，取PQ中點S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點R₃，
則PR₃=QR₃，∠PR₃Q=90度．
∴PQ=2R₃S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴點P（-，1），點Q（，1），可求點R₃坐標為（，0）．
經檢驗，點R₁，點R₂，點R₃都滿足條件．
綜上所述，存在滿足條件的點R，它們分別是R₁（，0），R₂（1，0）和點R₃（，0）．
點評：本題考查一元二次方程的解法，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．