Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E且AB＝AE，延長AB與DE的延長線相交于點F，連接AC、CF．下列結論：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等邊三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正確的有（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據平行四邊形的性質可得AD//BC，AD=BC，根據平行線的性質可得∠BEA=∠EAD，根據等腰三角形的性質可得∠ABE=∠BEA，即可證明∠EAD=∠ABE，利用SAS可證明△ABC≌△EAD；可得①正確；由角平分線的定義可得∠BAE=∠EAD，即可證明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正確；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正確；題中③和④不正確．綜上即可得答案．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠BEA=∠EAD，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠BEA，

∴∠EAD=∠ABE，

在△ABC和△EAD中，，

∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正確；

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE=AE，

∴△ABE是等邊三角形；②正確；

∴∠ABE＝∠EAD＝60°，

∵△FCD與△ABC等底（AB＝CD）等高（AB與CD間的距離相等），

∴S△FCD＝S△ABC，

∵△AEC與△DEC同底等高，

∴S△AEC＝S△DEC，

∴S△ABE＝S△CEF；⑤正確．

若AD=BF，則BF＝BC，題中未限定這一條件，

∴③不一定正確；

如圖，過點E作EH⊥AB于H，過點A作AG⊥BC于G，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AG=EH，

若S△BEF＝S△ABC，則BF=BC，題中未限定這一條件，

∴④不一定正確；

綜上所述：正確的有①②⑤．

故選：B．