Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點．動點P、Q在邊AB上同時從點D出發，點P沿D→A以1cm/s的速度向終點A運動．點Q沿D→B→D以2cm/s的速度運動，回到點D停止．以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN．將△PQN繞QN的中點旋轉180°得到△MNQ．設四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）（0＜t＜3）．

（1）當點N落在邊BC上時，求t的值．
（2）當點N到點A、B的距離相等時，求t的值．
（3）當點Q沿D→B運動時，求S與t之間的函數表達式．
（4）設四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，

∴當點N落在邊BC上時，點Q與點B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=

（2）

解：∵當點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，

∴PD=DQ，

當0＜t＜ 時，

此時，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合題意，舍去），

當 ≤t＜3時，

此時，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

綜上所述，當點N到點A、B的距離相等時，t=2

（3）

解：由題意知：此時，PD=t，DQ=2t

當點M在BC邊上時，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如圖①，當 時，

S△PNQ= PQ2= t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ= t2，

如圖②，當 時，

設MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，

∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等邊三角形，

∴S△EMF= ME2= （5t﹣3）2

．

（4）

解：MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，

此時， ＜t＜ ，

t=1或 ．

【解析】（1）由題意知：當點N落在邊BC上時，點Q與點B重合，此時DQ=3；（2）當點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，此時PD=DQ；（3）當 時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當 時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．（4）MN、MQ與邊BC的有交點時，此時 ＜t＜ ，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達式后，即可求出t的值．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．