Question

【題目】閱讀下面材料并解決有關問題：

我們知道：|x|＝．現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數范圍內，零點值x＝﹣1和，x＝2可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：

①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．

從而化簡代數式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：

①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；

②當﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；

③當x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．綜上討論，原式＝．

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

（1）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|．

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

Answer 1

【答案】(1)原式；(2)的最大值為2.

【解析】

（1）分為x＜﹣2、﹣2≤x＜4、x≥4三種情況化簡即可；

（2）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而求出代數式的最大值．

（1）令和，分別求得，x=4，（稱－2，4分別為和的零點值）．

在實數范圍內，零點值和，可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：

（1）；（2）；（3）

從而化簡代數式可分以下3種情況：

（1）當時，原式；

（2）當時，原式；

（3）當時，原式．

綜上所述：原式．

（2）令x－1=0和x+1=0，分別求得x=1，x=－1．

在實數范圍內，零點值x=－1和x=1，可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：

（1）x＜－1；（2）；（3）．

從而化簡代數式可分以下3種情況：

（1）當時，原式；

（2）當時，原式；

（3）當x＞1時，原式．

綜上所述：的最大值為2．