Question

【題目】定義：如（圖1），點把線段分割成和，若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點是線段的勾股分割點．

（1）已知點是線段的勾股分割點，若，求的長；

（2）如（圖2），在等腰直角中， ，點為邊上兩點，滿足，求證：點是線段的勾股分割點；陽陽同學在解決第（2）小題時遇到了困難，陳老師對陽陽說：要證明勾股分割點，則需設法構造直角三角形，你可以把繞點逆時針旋轉試一試．請根據陳老師的提示完成第（2）小題的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）BN=或；（2）見解析

【解析】

(1)分當MN為最大線段時和當BN為最大線段時，兩種情況利用勾股定理即可解決問題；

(2)先證明△MCN≌△MCN′，得MN′=MN，由勾股定理得AN′2+AM2=MN′2，即可解答；

（1）解：①當MN為最大線段時，

∵點 M , N是線段AB的勾股分割點，

∴BN===；

②當BN為最大線段時，

∵點M , N是線段AB的勾股分割點，

∴BN==，

綜上所述：BN=或；

（2）①證明：如圖，連接MN′

∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠BCN+∠ACM=45°，

∵∠AC N′=∠BCN，

∴∠MC N′=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACM=45°=∠MCN，

在△MCN和△MCN′中，

∴△MCN≌△MC N′

∴M N′=MN

∵∠CAN′=∠CAB=45°

∴∠MAN ′=90，

AN′2+AM2=MN′2

即BN 2+AM 2=MN 2，

∴點M , N是線段AB的勾股分割點