Question

已知，如圖，直角坐標系內的矩形ABCD，頂點A的坐標為（0，3），BC=2AB，P為AD邊上一動點（與點A、D不重合），以點P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點F，過P、F作直線L，交BC邊于點E ，當點P運動到點P₁位置時，直線L恰好經過點B，此時直線的解析式是y=2x+1

（1）求BC、AP₁的長；
（2）設AP=m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數關系式，寫出自變量m的取值范圍；
（3）以點E為圓心作⊙E與x軸相切
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種位置關系，并求出AP相應的取值范圍；
②當直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比值為3∶5時，則⊙P和⊙E的位置關系如何？并說明理由。

Answer 1

（1）BC=4 AP1=1；
（2）S=9-2m    1≤m<4；
（3）①當1≤m<5時，兩圓外離；當m=5時，兩圓外切；當5<m<4時，兩圓相交；
         ②外離或相交