Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．

（1）求MP的值；
（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當AF等于多少時，△MEF的周長最小？
（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°，

∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，

∴MP= =5

（2）解：如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4，

∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，

∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN= = =3，

∴NM′=11，

∵AF∥NE，

∴△AFM′∽△NEM′，

∴ = ，即 = ，解得AF= ，

即AF= 時，△MEF的周長最小

（3）解：如圖2，由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四邊形ERGQ是平行四邊形，

∴QE=GR，

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R= =5 ，

∵ME=5，GQ=2，

∴四邊形MEQG的最小周長值是7+5 ．

【解析】（1）根據矩形的性質，四邊形ABCD為矩形，得到CD=AB，∠D=90°，再由矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，根據勾股定理得到MP的值；（2）根據折疊的性質，矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，得到∠CEP=∠MEP，ME=MP，根據勾股定理求出MN、NM′的值，由AF∥NE，得到△AFM′∽△NEM′，從而求出AF的值，得到△MEF的周長最小；（3）由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，得到四邊形ERGQ是平行四邊形，得到四邊形MEQG的周長最小，根據勾股定理M′R的值，得到四邊形MEQG的最小周長值.
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和軸對稱-最短路線問題的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能正確解答此題．