Question

【題目】下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點，OB交CE于N，連OH．下列結論中：①BF⊥CE；②OM=ON；③ ；④ ．其中正確的命題有（ ）
A.只有①②
B.只有①②④
C.只有①④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正確；
∵四邊形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正確；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
∵∠BOM=90°，
∴當H為BM中點時，OH= BM= CN（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），
因此只有當H為BM的中點時， ，故③錯誤；
④過O點作OG垂直于OH，OG交CH與G點，
在△OGC與△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
綜上所述，①②④正確．
故選B．

【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．