Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣5，0）和點B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點P是拋物線上A、D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G，過點G作GF⊥x軸于點F，當矩形PEFG的周長最大時，求點P的橫坐標；

（3）如圖2，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x+，D（﹣2，4）；（2）點P的橫坐標為﹣；（3）AN＝1或．

【解析】

（1）根據拋物線過A、B兩點，可用交點式求出拋物線的解析式，然后求拋物線的頂點坐標即可；

（2）設點P（m，﹣m2﹣m+），分別用m表示出PE和PG，從而得出矩形的周長與m的二次函數關系式，利用二次函數的頂點式求最值即可；

（3）利用相似三角形的判定定理可得△BDM∽△AMN，列出比例式，并根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式分別求出AB、AD、BD，最后根據等腰三角形的腰的情況分類討論即可.

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣5，0）和點B（1，0）

∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，

則頂點坐標的橫坐標為: ,代入可得頂點坐標的縱坐標為:4

∴點D（﹣2，4）；

（2）設點P（m，﹣m2﹣m+），

則PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，

∴矩形PEFG的周長＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，故當m＝﹣時，矩形PEFG周長最大，

此時，點P的橫坐標為﹣；

（3）∵∠DMN＝∠DBA，

∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，

∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，

∴∠NMA＝∠MDB，

∴△BDM∽△AMN，

∴，

而AB＝1－(﹣5)=6，AD＝BD＝=5，

①當MN＝DM時，

∴△BDM≌△AMN，

即：AM＝BD＝5，則AN＝MB＝AB－AM＝1；

②當NM＝DN時，

則∠NDM＝∠NMD，

∴△AMD∽△ADB，

∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，則AM＝，

而，即，

解得：AN＝；

③當DN＝DM時，

∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，

∴∠DNM＞∠DMN，

∴DN≠DM；

綜上所述：AN＝1或．