Question

如圖，城市A位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮B需從A市購進大量生活、生產用品，如果鐵路運費是公路運費的一半．問該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運費最低？

Answer 1

設AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，鐵路每千米的運費為a元，則公路每千米的運費為2a元，
則從A到B得運費s=a（n-

y2-m2

）+2ay①，即an-s+2ay=a

y2-m2

②，
兩邊平方整理得：3a²y²+4a（an-s）y+（an-s）²+a²m²=0，
可看作關于y的一元二次方程，△=[4a（an-s）]²-4×3a²[（an-s）²+a²m²]≥0，
即（an-s）²≥3a²m²，s-an≥

3

am，
從而可得s≥an+

3

am，故最小值為an+

3

am．
將s的值代入②可得an-（an+

3

am）+2ay=a

y2-m2

，
移項后可得：(

3

ay-2am)2=0，故

3

ay=2am，
解得：y=

2 3 m

3

，
從而可得x=n-

y2-m2

=n-

3

3

m．
答：修一條公路，使得鐵路與公路的交接點C距離A的距離為n-

3

3

m，此時的運費最低，為an+

3

am．