Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，AB=BD，BD交AC于F，BE∥AD交AC的延長線于E點
（1）求證：BE為⊙O的切線；
（2）若AF=4CF，求tan∠E．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接CD、OD、BO，延長BO交AD于點G，

在△ABO和△DBO中，

∵ ，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠1=∠ABO，

∴BG⊥AD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BE∥AD，

∴∠2=∠3，

∴∠3+∠1=90°，即OB⊥BE，

∴BE為⊙O的切線

（2）解：設CF=x，則AF=4x，

∴AC=5x，OC=OB= AC= x，

∴OF=OC﹣CF= x﹣x= x，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴CD∥BG，

∴△CDF∽△OBF，

∴ = ，即 = ，

則CD= x，

∴AD= = = x，

∵BE∥AD，

∴tanE=tan∠CAD= = =

【解析】（1）連接CD、OD、BO，延長BO交AD于點G，證△ABO≌△DBO得∠1=∠ABO，從而得BG⊥AD，即∠1+∠2=90°，根據∠2=∠3知∠3+∠1=90°，得證；（2）設CF=x，則AF=4x、OC=OB= AC= x、OF=OC﹣CF= x，證△CDF∽△OBF得 = ，從而求得CD= x、AD= = x，由tanE=tan∠CAD= 可得答案．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和解直角三角形，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．