Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F，

（1）求證：△CDE是等腰三角形；

（2）若AB=4，，求證：△OBC≌△DCE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE實等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=4，易求AC=AO=2，利用勾股定理可求BC=2，CE=AE-AC=2，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．

試題解析：證明：（1）∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

又∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

又∵OA=OC，

∴△AOC是正三角形，

又∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°，

又∵ED⊥AB于F，

∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°，

∴∠DCE=∠DEC，

故△CDE為等腰三角形；

（2）在Rt△ABC中，

∵AB=4，AC=AO=2，

∴，

而，

∴BC=CE，

又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，

∴△OBC≌△DCE（ASA）．