Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點D，且BD＝8cm．點M從點A出發，沿AC的方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發，沿BA的方向勻速運動，速度為1cm/s，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為t秒 (0＜t＜5)．

(1)當t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？

(2)設四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數關系式；

(3)是否存在某一時刻t,使S_{四邊形PQCM}＝S_△ABC？若存在,求出t的值；若不存在，說明理由；

(4)連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當時，四邊形PQCM是平行四邊形；    （3分）

（2）過P作PE⊥AC，交AC于E，   ∵ PQ∥AC，  ∴△PBQ∽△ABC，  

∴△PBQ是等腰三角形，  ∴PQ=PB=t，

∴ ∴BF＝，∴FD＝8－，又∵MC=AC-AN=10-2t，

∴    （3分）

（3）∵S_△ABC=,∴當y＝S_△ABC時，，

即，解得（舍去）  （3分）

（4）假設存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，過M作MH⊥AB，交AB于H，則△AHM∽△ADB，

∵

在Rt△HMP中，，

又∵,

由解得：（舍去），

∴當時，點M在線段PC的垂直平分線上.