Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圓心O在△ABC內部）經過B、C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F．延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接CE，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠B=45°，

∵EF是⊙O的切線，

∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，

∴∠CEO=45°，

∵DE∥CF，

∴∠ECD=∠FEC=45°，

∴∠EOC=90°，

∴EF∥OD，

∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）

解：過G作GN⊥BC于M，

∴△GMB是等腰直角三角形，

∴MB=GM，

∵四邊形CDEF是平行四邊形，

∴∠FCD=∠FED，

∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，

∴∠CGM=∠ACD，

∴∠CGM=∠DEF，

∵tan∠DEF=2，

∴tan∠CGM= =2，

∴CM=2GM，

∴CM+BM=2GM+GM=3，

∴GM=1，

∴BG= GM= ．

【解析】（1）連接CE，根據等腰直角三角形的性質得到∠B=45°，根據切線的性質得到∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，根據平行線的性質得到∠ECD=∠FEC=45°，得到∠EOC=90°，求得EF∥OD，于是得到結論；（2）過G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根據平行四邊形的性質得到∠FCD=∠FED，根據余角的性質得到∠CGM=∠ACD，等量代換得到∠CGM=∠DEF，根據三角函數的定義得到CM=2GM，于是得到結論．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質和切線的性質定理，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．