Question

【題目】如圖，反比例函數（x＞0）的圖象與直線y=x交于點M，∠AMB=90°，其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A，B，四邊形OAMB的面積為6．

（1）求k的值；

（2）點P在反比例函數（x＞0）的圖象上，若點P的橫坐標為3，∠EPF=90°，其兩邊分別與x軸的正半軸，直線y=x交于點E，F，問是否存在點E，使得PE=PF？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）E（4，0）或E（6，0）．

【解析】

試題分析：（1）過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，根據AAS證明△AMC≌△BMD，那么S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，根據反比例函數比例系數k的幾何意義得出k=6；

（2）先根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得點P的坐標為（3，2）．再分兩種情況進行討論：①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．根據AAS證明△PGE≌△FHP，進而求出E點坐標；②如圖3，同理求出E點坐標．

試題解析：（1）如圖1，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，則∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，∴k=6；

（2）存在點E，使得PE=PF．

由題意，得點P的坐標為（3，2）．

①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，FK=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1，∴OE=OG+GE=3+1=4，∴E（4，0）；

②如圖3，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3，∴OE=OG+GE=3+3=6，∴E（6，0）．

綜上所述，E（4，0）或E（6，0）．