Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB∥x軸，點C是點B關于原點O的對稱點，連接AC交x軸于點D，點A的坐標為（0，-3），sinB=

3

5

．
（1）求B、C、D三點的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）設點E（8，n）在（2）中的拋物線上，請你在x軸上求一點F，使得△DEF是以DE為底邊的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據題意得出OA、OB、AB的長，先求出B的坐標，再根據對稱求出C、D兩點的坐標即可．
（2）本題需先設出拋物線的解析式y=ax²+bx-3，然后列出方程組求出a、b的值，即可得出所求拋物線的解析式．
（3）本題需先求出E點的坐標，再設F點的坐標為F（m，0），根據DF=EF列出方程，解出m的值，即可求出F點的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，-3），
∴OA=3．
∵AB∥x軸，
∴∠OAB=90°．
∴sinB=

OA

OB

=

3

5

．
∴OB=5．
∴AB=4．
∴B點坐標為：B（4，-3）．
∵點C是點B關于原點O的對稱點，
∴C點坐標為：C（-4，3），且OC=OB．
∴OD=

1

2

AB=2．
∴D點坐標為：D（-2，0）；

（2）設過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx-3，
∴

16a+4b-3=-3 16a-4b-3=3.

，
解得

a= 3 16 b=- 3 4 .

，
所求拋物線的解析式為y=

3

16

x2-

3

4

x-3；

（3）當x=8時，y=

3

16

×64-

3

4

×8-3=3．
∴E點坐標為：E（8，3）．
設F點的坐標為F（m，0），
∴DF=m+2．
過點E作EH⊥x軸于H，
∴EF²=EH²+FH²=3²+（8-m）²．
∵DF=EF，
∴（m+2）²=3²+（8-m）²．
解得

69

20

．
F點的坐標為（

69

20

，0）

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要結合圖形列出方程，求出點的坐標是本題的關鍵．