Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP到BA的延長線于點Q，求sin∠BQP的值；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，

∴CF=BE，

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF．

（2）

解：如圖2，根據題意得，

FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

令PF=k（k＞0），則PB=2k

在Rt△BPQ中，設QB=x，

∴x2=（x﹣k）2+4k2，

∴x= ，

∴sin∠BQP= = = ．

（3）

解：∵正方形ABCD的面積為4，

∴邊長為2，

∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，

∴AN=AB=2，

∵∠AHM=90°，

∴GN∥HM，

∴ = ，

∴ = ，

∴S△AGN= ，

∴S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣ = ，

∴四邊形GHMN的面積是 ．

【解析】（1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°求證；（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB，解出BP，QB求解；（3）先求出正方形的邊長，再根據面積比等于相似邊長比的平方，求得S△AGN= ，
再利用S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．