Question

請閱讀材料：①一般地，n個相同的因數a相乘：記為，如2·2·2=2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為 （即==3）．②一般地，若aⁿ=b（a>0且a≠1，b>0），則n叫做以a為底b的對數，記為（即==n），如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為（即==4）．
（1）計算下列各對數的值：
4=" _____________________________" ；16="__________________________" ；
64=____________________________．
（2）觀察（1）題中的三數，4，16，64之間存在怎樣的關系式                                    
4，16，64又存在怎樣的關系式．                                     
（3）由（2）題猜想 M+N=_____________________（a>0且a≠1，M>0，N>0），并結合冪的運算法則：a^m•aⁿ=a^m+n加以證明．

Answer 1

（1）2，4，6；（2）4×16=64，4+16=64；（3）㏒㏒=㏒MN，證明見試題解析．

試題分析：首先認真閱讀題目，準確理解對數的定義，把握好對數與指數的關系．
（1）根據對數的定義求解；（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；（3）由特殊到一般，得出結論：log_aM+log_aN=log_a（MN）；證明時可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明結論．
試題解析：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；
（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）。證明如下：設log_aM=b₁，log_aN=b₂，則=M，=N，所以MN=，所以b₁+b₂=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．