Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求證：AD=DC；
（2）如圖2，在上述條件下，若∠A=∠ABC=60°，過點D作DE⊥AB，過點C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF．判斷△DEF的形狀并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵DC‖AB，

∴∠CDB=∠ABD，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴BC=DC，

又∵AD=BC，

∴AD=DC；

（2）解：△DEF為等邊三角形，

證明：∵BC=DC（已證），CF⊥BD，

∴點F是BD的中點，

∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．

∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，

∴△DEF為等邊三角形．

【解析】（1）利用平行線的性質以及角平分線的性質得出對應角關系即可得出∠CDB=∠CBD進而得出AD=DC，（2）利用等腰三角形的性質得出點F是BD的中點，再利用直角三角形的性質以及等邊三角形的判定得出答案．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的判定的相關知識點，需要掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形才能正確解答此題．