Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中線，CG平分∠ACB交BE于點G，F為AB邊上一點，且∠ACF=∠CBG．

（1）求證：CF=BG；
（2）延長CG交AB于點H，判斷點G是否在線段AB的垂直平分線上？并說明理由．
（3）過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，請證明：CF=2DE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG=45°=∠A，

∴∠BCG=∠CAB=45°，

在△ACF和△BCG中， ，

∴△ACF≌△BCG（ASA），

∴AF=CG，CF=BG

（2）解：點G在線段AB的垂直平分線上，如圖1所示：理由如下：

∵AC=BC，CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，H為AB中點，

∴點G在線段AB的垂直平分線上

（3）證明：連接AG．如圖2所示：

由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，

∵AD⊥AB，

∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，

∴∠GAD=∠D，

∴GA=GD=GB=CF．

∵AD⊥AB，CH⊥AB

∴CH∥AD，

∴∠D=∠EGC，

∵E為AC中點，

∴AE=EC，

在△AED和△CEG中， ，

∴△AED≌△CEG（SAS），

∴DE=EG，

∴DG=2DE，

∴CF=2DE

【解析】 （1）根據等腰直角三角形的性質及角平分線的定義得出∠BCG=∠CAB=45°，然后由ASA判斷出△ACF≌△BCG，然后根據全等三角形的性質得出結論；
（2）根據等腰三角形的三線合一得出CH⊥AB，H為AB中點，故點G在線段AB的垂直平分線上；
（3）連接AG，由垂直的定義得出∠GAD=∠D， 根據等邊對等角得出GA=GD=GB=CF，由平行線的判定得出CH∥AD，故∠D=∠EGC，然后由SAS得出△AED≌△CEG，根據全等三角形的性質得出結論。

【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的判定與性質和等腰三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．