Question

如圖是王老師休假釣魚時的一張照片，魚桿前部分近似呈拋物線的形狀，后部分呈直線形．已知拋物線上關于對稱軸對稱的兩點B，C之間的距離為2米，頂點O離水面的高度為2

2

3

米，人握的魚桿底端D離水面1

1

3

米，離拐點C的水平距離1米，且仰角為45°，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）試根據上述信息確定拋物線BOC和CD所在直線的函數表達式；
（2）當繼續向上拉魚使其剛好露出水面時，釣桿的傾斜角增大了15°，直線部分的長度變成了1米（即ED長為1米），頂點向上增高

2

3

米，且右移

1

2

米（即頂點變為F），假設釣魚線與人手（點D）的水平距離為2

1

4

米，那么釣魚線的長度為多少米？

Answer 1

分析：（1）先設拋物線BOC的函數表達式為y=ax²．有C的坐標求出a的值即可得到拋物線的解析式；設直線CD的函數表達式為y=kx+b，由C，D點的坐標求出k和b的值即可求出直線的函數表達式；
（2）由已知條件求出E和F的坐標，設這時拋物線的函數表達式為y=m(x-

1

2

)2+

2

3

，又由已知A點的橫坐標為-

1

4

，再把橫坐標代入求出的函數關系式求出此時的縱坐標即可求出釣魚線的長度為多少米．

解答：解：（1）由已知，得C(1，-

1

3

)．
設拋物線BOC的函數表達式為y=ax²．
則a=-

1

3

，所以y=-

1

3

x2．
(1，-

1

3

)，(2，-1

1

3

)
得

k+b=- 1 3 2k+b=- 4 3 .

解得k=-1，b=

2

3

．
所以y=-x+

2

3

；

（2）由已知，得E(

3

2

，

3

2

-

4

3

)，F(

1

2

，

2

3

)．
設這時拋物線的函數表達式為y=m(x-

1

2

)2+

2

3

．
則m(

3

2

-

1

2

)2+

2

3

=

3

2

-

4

3

．
所以m=

3

2

-2．
所以y=(

3

2

-2)(x-

1

2

)2+

2

3

，
又由已知A點的橫坐標為-

1

4

，得A(-

1

4

，

27 3 -44

96

)．
所以釣魚線的最小長度為

27 3 +212

96

米．

點評：本題考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，解決這類題目是恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．