Question

【題目】已知：如圖，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，EF經過點O且平行于BC，分別與AB，AC交于點E，F．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數；
（2）若∠ABC=α，∠ACB=β，用α，β的代數式表示∠BOC的度數．
（3）在第（2）問的條件下，若∠ABC和∠ACB鄰補角的平分線交于點O，其他條件不變，請畫出相應圖形，并用α，β的代數式表示∠BOC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×（50°+60°）=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°

（2）

解：∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠ABC=α，∠ACB=β，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （α+β），

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （α+β）

（3）

解：如圖所示：

∵∠ABC和∠ACB鄰補角的平分線交于點O，

∴∠CBO+∠BCO= + =180°﹣ ，

∴∠BOC=180°﹣（180°﹣ ）= α+ β．

【解析】（1）先根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數，再根據三角形內角和定理求出∠BOC的度數即可；（2）先用α、β表示出∠OBC+∠OCB的度數，再根據三角形內角和定理求出∠BOC的度數即可；（3）根據題意畫出圖形，再根據三角平分線的定義求出∠CBO+∠ACO的度數，進而可得出結論．
【考點精析】利用平行線的性質和三角形的內角和外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．