Question

如圖所示，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，線段AO交⊙O于點(diǎn)B．過點(diǎn)B作BD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD、OC，且OC交DB于點(diǎn)E．若∠CDB=30°，DB=5

3

cm．
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)定理和平行線的性質(zhì)定理得到OC⊥BD，根據(jù)垂徑定理得到BE的長，再根據(jù)圓周角定理發(fā)現(xiàn)∠BOE=60°，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)求得圓的半徑；
（2）結(jié)合（1）中的有關(guān)結(jié)論證明△DCE≌△BOE，則它們的面積相等，故陰影部分的面積就是扇形OBC的面積．

解答：解：（1）∵AC與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠ACO=90°
∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°，
∴DE=EB=

1

2

BD=

5 3

2

（cm）
∵∠D=30°，
∴∠O=2∠D=60°，
在Rt△BEO中，sin60°=

BE

OB

，

3

2

=

5 3 2

OB

∴OB=5，即⊙O的半徑長為5cm．

（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，
∴∠EBO=∠D=30°
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE
∴S陰=S扇OBC=

60

360

π•52=

25π

6

(cm2)，
答：陰影部分的面積為

25π

6

cm2．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)定理、垂徑定理以及全等三角形的判定方法．能夠熟練解直角三角形．