Question

如圖，拋物線與y軸交于點C（0，－4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值；
（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．

Answer 1

解：（1）把點C（0，－4），B（2，0）分別代入中，
得，解得。
∴該拋物線的解析式為。
（2）令y=0，即，解得x₁=－4，x₂=2。
∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12。
設P點坐標為（x，0），則PB=2﹣x。
∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。
∴，即，化簡得：。
∴
。
∴當x=﹣1時，S_△PCE的最大值為3。
（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：
①當DM=DO時，如圖①所示，

∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M點的坐標為（－2，－2）。
②當MD=MO時，如圖②所示，

過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3。
∴M點的坐標為（－1，－3）。
③當OD=OM時，
∵△OAC為等腰直角三角形，
∴點O到AC的距離為×4=，即AC上的點與點O之間的最小距離為。
∵＞2，∴OD=OM的情況不存在。
綜上所述，點M的坐標為（－2，－2）或（－1，－3）。

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。
（3）△OMD為等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三種情況討論即可。