Question

【題目】已知直線y＝2x－5與x軸和y軸分別交于點A和點B，點C（1，n）在直線AB上，點D在y軸的負半軸上，且CD=．

（1）求點C、點D的坐標.

（2）若P為y軸上的點，當△PCD為等腰三角形時，求點P的坐標.

（3）若點M為x軸上一動點（點M不與點O重合），N為直線y＝2x－5上一動點，是否存在點M、N，使得△AMN與△AOB全等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）C（1，-3），D（0，-6）；（2）P(0, ) 、P(0, ) 、P(0,0)、P(0, )；（3）N（5,5）或N（）或N（）.

【解析】試題分析：（1）先確定點C的坐標，設點D坐標為（0，d）(d<0)，則有CD2=（1-0）2+（-3-d）2=，解之即可得；

（2）分別以點C、點D為圓心，CD為半徑畫圓，圓與y軸即為滿足條件的點，作CD的中垂線與y軸的交點也滿足條件，然后根據CD的長以及等腰三角形的性質即可得；

（3）分△AM1N1≌△AOB與△AM1N1≌△ABO兩種情況，畫出相應的圖形進行求解即可得.

試題解析：（1）當x=1時，y＝2x－5=-3，所以C（1，-3），

設點D坐標為（0，d）(d<0)，則有CD2=（1-0）2+（-3-d）2= ，解得：d=0（舍去）或d=-6，所以D（0，-6）；

（2）當P1C=CD時，由（1）計算可知此時P1與原點O重合，所以P1（0，0），

當PC為底時，如圖，此時PD=CD= ，所以P2（0，-6-）、P3（0，-6+），

當CD為底邊時，設P點坐標為（0，p），由題意則有（-3-p）2+12=(-6-p)2，解得：p= ，所以P4（0， ），

綜上，點P坐標為： P1(0，0)、P2(0， ) 、P3(0， )、P4(0， )；

(3)由y＝2x－5與x軸和y軸分別交于點A和點B可知OA=2.5，OB=5，AB= ，

如圖所示，當△AM1N1≌△AOB時，AM=AO，M1N1=OB，所以N1（5，5），

當△AM1N1≌△ABO時，AN3=AO=2.5，過點N3作N3E2⊥OA，

則有△AE2N3∽△AOB，∴ ，

即，∴E2N3= ，AE2= ，

同理E1N2= ，AE1= ，

∴N3（），N2（），

綜上，點N的坐標為：N1（5，5），N2（），N3（）.