Question

【題目】如圖，在⊙O的內接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D，垂足為E.設P是上異于A，C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G.

(1)求證：△PAC∽△PDF；

(2)若AB＝5，，求PD的長；

(3)在點P運動過程中，設＝x，tan∠AFD＝y，求y與x之間的函數關系式．(不要求寫出x的取值范圍)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）應用圓周角定理證明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可證明結論.

（2）由AC=2BC，設，應用勾股定理即可求得BC，AC的長，則由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的長，由可知△APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，從而求得DF的長，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的長.

（3）連接BP，BD，AD，根據圓的對稱性，可得，由角的轉換可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，兩式相乘可得結果.

試題解析：（1）由APCB內接于圓O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）連接BP，設，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如圖，連接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的長為.

（3）如圖，連接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根據圓的對稱性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴與之間的函數關系式為.