Question

如圖，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于E，交于D，點A是優弧上的動點(不與B、C重合)，BC=，ED=2．

（1）求⊙O的半徑；
（2）求cos∠A的值及圖中陰影部分面積的最大值.

Answer 1

（1）4；（2），.

試題分析：（1）連接OB，利用垂徑定理易得BE的長，在Rt△OBE中，設半徑為R，利用勾股定理得到關于R的方程，解方程即可求得半徑長；
（2）在Rt△BOE中，根據銳角三角函數定義可求得，根據圓周角定理可得，從而求得cos∠A的值；因為弓形BD的面積不變，所以當△ABD的面積最大時，陰影部分的面積最大，即點A在線段BD的中垂線上時陰影部分面積的最大，從而連接BD，過O作MN⊥BD，垂足為N，交優弧于點M，連接MB、MD，根據即可求得圖中陰影部分面積的最大值.
試題解析：（1）如圖，連接OB.
∵OD⊥BC，∴.
設⊙O的半徑為R，則，
在Rt△OEB中，OB²=OE²+BE²，即，解得R=4.

（2）在Rt△BOE中，∵ ，∴.
∵∴ .   
連接BD，過O作MN⊥BD，垂足為N，交優弧于點M，連接MB、MD.
當點A運動到點M時，陰影部分的面積最大.
∵，∴△BOD是等邊三角形. ∴BD=4.
又∵ON⊥BD，∴.
∵，，
∴.