Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求△ABP的面積；

（2）當t為幾秒時，BP平分∠ABC；

（3）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？

（4）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）18；（2）3；（3）t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形；（4）t為4或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分

【解析】試題分析：(1)、根據速度為每秒1cm，求出出發2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．(2)、因為AB與CB，由勾股定理得AC="4" 因為AB為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．(3)、分類討論：當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；當P點在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．

試題解析：(1)、如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，

∴出發2秒后，則CP=2， ∵∠C=90°， ∴PB==，

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+=7．

(2)、①如圖2，若P在邊AC上時，BC=CP=3cm，

此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時，有三種情況： i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時AP=2cm，P運動的路程為2+4=6cm，

所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；

ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為2.4cm， 作CD⊥AB于點D，

在Rt△PCD中，PD===1.8， 所以BP=2PD=3.6cm，

所以P運動的路程為9﹣3.6=5.4cm， 則用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；

ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時P應該為斜邊AB的中點，P運動的路程為4+2.5=6.5cm

則所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；

綜上所述，當t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△BCP為等腰三角形

(3)、如圖6，當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分， ∴t+2t﹣3=3， ∴t=2；

如圖7，當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分， ∴t﹣4+2t﹣8=6， ∴t=6，

∴當t為2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．