Question

【題目】在正方形中，是邊上一點（點不與點重合），連接．

（感知）如圖1，過點作交于點．易證．（不需要證明）

（探究）如圖2，取的中點，過點作交于點，交于點．

（1）求證：．

（2）連接．若，則的長為___________．

（應用）如圖3，取的中點，連接．過點作交于點，連接．若，則四邊形的面積為______．

Answer 1

【答案】【探究】（1）見解析；（2）2；【應用】9.

【解析】

（1）過A作，根據AD//BC，可證明四邊形AHFG是平行四邊形，可得AH=GF，由GF⊥BE可得AH⊥BE，利用直角三角形兩銳角互余的性質可得∠BAH=∠CBE，利用ASA可證明△ABH≌△BCE，即可證明BE=AH，進而可得BE=FG；（2）連接CM，由（1）可知BE=FG，根據直角三角形斜邊中線的性質可求出BE的長，即可得答案；【應用】根據直角三角形斜邊中線的性質可得BE=6，ME=3，利用ASA可證明△BCE≌△CDG，可得BE=CG，利用三角形面積公式即可得答案.

（1）如圖，過A作，

∵AD//BC，AH//GF，

∴四邊形AHFG是平行四邊形，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

∴．

在和中，，，，

∴．

∴，

∴．

（2）連接CM，

∵∠BCD=90°，點M為BE中點，CM=1，

∴BE=2CM=2，

由（1）得BE=FG，

∴FG=2.

【應用】

在中，，是邊上的中線，

∴．

∵∠DCG+∠BCG=90°，∠CBE+∠BCG=90°，

∴∠DCG+∠CBE，

又∵BC=CD，∠BCE=∠CDG=90°，

∴，

∴．

又∵，且，

∴．