Question

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分的面積為s，則下列結論：

①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②當x=1時，四邊形ABC₁D₁是菱形；
③當x=2時，△BDD₁為等邊三角形；
④（0＜x＜2）；
其中正確的是　   　（填序號）．

Answer 1

①②③④

解析試題分析：①∵四邊形ABCD為矩形，∴BC=AD，BC∥AD。∴∠DAC=∠ACB。
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁。
在△A₁AD₁與△CC₁B中，∵AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）。①正確；。

②∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°。
∵AB=1，∴AC=2。
∵x=1，∴AC₁=1。∴△AC₁B是等邊三角形。∴AB=BC₁。
又AB∥BC₁，∴四邊形ABC₁D₁是菱形。故②正確。
③如圖所示，可得BD=DD₁=BD₁=2，

∴△BDD₁為等邊三角形，故③正確。
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴，
解得：（0＜x＜2）；故④正確。
綜上可得正確的是①②③④。