Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動速度為1厘米/秒，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動速度為2厘米/秒，若它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）求出發2秒后，PQ的長；

（2）點Q在CA邊上運動時，當△BCQ成為等腰三角形時，求點Q的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）厘米；（2）當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）運動2秒后，根據P、Q運動速度可知道運動的路程BQ和AP長，在Rt△QBP中，利用勾股定理即可求出PQ．

（2）已知點Q在CA邊上運動時，若△BCQ成為等腰三角形，可分三種情況討論，即CQ=BQ，CQ=BC，BC=BQ，得出點Q運動的路程，已知速度即可求出運動時間，在直角三角形中可利用勾股定理求解．

（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm．

∵∠B=90°，

PQ=(cm)；

故答案為：厘米

（2）分三種情況：

①當CQ=BQ時，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴BQ是Rt△ABC斜邊上的中線

∵AC=

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示：

過B點作BE⊥AC于點E，

則BE(cm)

∴CE=cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

綜上所述，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，

△BCQ為等腰三角形．