Question

【題目】在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．

（1）如圖1，若AC:AB=1:2，EF⊥CB，求證：EF=CD；

（2）如圖2，若AC:AB=1: ，EF⊥CE，求EF: EG的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．

解：（1）證明：如圖所示，∵AC:AB=1:2，點E為AB的中點，∴AC=BE，

∵AD⊥BC，∠CAB=90°，

∴∠B＋∠BAD=∠DAC＋∠BAD=90°，∴∠B=∠DAC ，

又∵AD⊥BC，EF⊥CB，∴∠ADC=∠BFE=90°，

∴△EFB≌△CDA(AAS)

∴EF=CD．

（2）過點E作EMBD，EN⊥AD，如圖2所示，

∵AD⊥BC ∴∠NEM=90° ∵CE⊥EF ∴∠NEG=∠MEF

∵∠ENG=∠EMF=90°，∴△EMF∽△ENG，∴，

∵AD⊥BC，AC:AB=1: ，∴∠B=30°，∴∠NAE=60°

∴EN=AE，同理可得EM=BE，

∵點E為AB的中點，∴AE=BE，

∴==.

“點睛”本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．