Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點（不與A、D重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．
（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）當點E運動到何位置時，四邊形EGFH是菱形？并證明；
（3）若（2）中的菱形是正方形，請探索EF與BC的關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）由G、F、H分別是BE、BC、CE的中點，根據三角形的中位線的性質，易證得四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）當點E運動到邊AD的中點時，易證得△ABE≌△DCE（SAS），可得BE=CE，然后由三角形的中位線的性質，可證得EG=FG=FH=EH，即可得四邊形EGFH是菱形；
（3）當菱形是正方形時，易得△BEC是等腰直角三角形，F是BC的中點，則可得EF=

1

2

BC．

解答：證明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中點，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四邊形GFHE是平行四邊形．

（2）當點E運動到邊AD的中點時，四邊形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中點，
∴FH=EG=

1

2

BE，FG=EH=

1

2

CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC．垂直．
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∵BF=FC，BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=

1

2

BC，EF⊥BC．

點評：此題考查了菱形的判定與性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質以及三角形中位線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．