Question

(2006，長沙)如圖1，已知直線與拋物線交于A、B兩點．

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)求線段A、B的垂直平分線的解析式；

(3)如圖2，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A、B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A、B構成無數個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形?如果存在，求出最大面積，并指出此時P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：依題意得 解之得　　 ∴A(6，－3)、B(－4，2)； (2)作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C、D兩點，交AB于M(如圖1)． 由(1)可知，， ∴，∴． 過B作BE⊥x軸，E為垂足． 由△BEO∽△OCM，得，， 同理，∴、． 設CD的解析式為y=kx＋b(k≠0)， ∴　　∴ ∴AB的垂直平分線的解析式為； 　 (3)若存在點P使△APB的面積最大，則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點的直線上，并設該直線與x軸，y軸交于G、H兩點(如圖2)． ∴ ∴． ∵拋物線與直線只有一個交點， ∴， ∴，∴． ∴直線GH的解析式為， ∴，，∴． 設O到GH的距離為d， ∴， ∴，∴． ∵AB∥GH， ∴P到AB的距離等于O到GH的距離d， ∴．