Question

【題目】如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG、DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：BG=AE．理由如下：

如圖①，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

點D是BC的中點，

∴BD=CD=AD，

∵在△BDG和△ADE中， ，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE

（2）解：證明：連接AD，

∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，

∴AD=BD，AD⊥BC，

∴∠ADG+∠GDB=90°，

∵EFGD為正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE，

在△BDG和△ADE中， ，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE．

【解析】（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）連接AD，根據直角三角形與正方形的性質可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．