Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N（如圖①）．
（1）求證：BM=DN；
（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；
（3）在（2）的條件下，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求的值．

Answer 1

（1）證法一：連接BD，則BD過點O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
又OB=OD，∠BOM=∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；

證法二：∵矩形ABCD是中心對稱圖形，點O是對稱中心，
∴B、D和M、N關于O點中心對稱，
∴BM=DN；

（2）證法一：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
又BM=DN，
∴AN=CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
由翻折得，AM=CM，∴四邊形AMCN是菱形；

證法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，
又∵∠ANE=∠CND，
∴△ANE≌△CND，
∴AN=CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四邊形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S_△CDN=DN•CD，S_△CMN=CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
設DN=k，則CN=CM=3k，
過N作NG⊥MC于點G，
則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，
NG=，
∴MN=，
∴==2；

解法二：∵S_△CDN=DN•CD，S_△CMN=CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
連接AC，則AC過點O，且AC⊥MN，
設DN=k，則CN=AN=CM=3k，AD=4k，
CD=，
OC=AC===k，
∴MN=2ON=2=2=2k，
∴==2．
分析：（1）連接BD，可證明△OBM≌△ODN，則BM=DN；
（2）先證明四邊形AMCN是平行四邊形，再由翻折得，AM=CM，則四邊形AMCN是菱形；
（3）又S_△CDN：S_△CMN=1：3，可得DN：CM=1：3，設DN=k，則CN=CM=3k，過N作NG⊥MC于點G，則可求出NG和MN，從而求出比值．
點評：圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱，所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形，復合的部分就是對應量．