Question

【題目】如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點P是大半圓O上一點，PA與小半圓M交于點C，過點C作CD⊥OP于點D．
（1）求證：CD是小半圓M的切線；
（2）若AB=8，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），設PD=x，CD2=y． ①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當y=3時，求P，M兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接CO、CM，如圖1所示．

∵AO是小半圓M的直徑，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°，即CD⊥CM．

∵CD經過半徑CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直線CD是小半圓M的切線

（2）解：①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴ ．

∴CD2=DPOD．

∵PD=x，CD2=y，OP= AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

當點P與點A重合時，x=0；當點P與點B重合時，x=4；

∵點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），

∴0＜x＜4．

∴y與x之間的函數關系式為y=﹣x2+4x，

自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

②當y=3時，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

（i）當x=1時，如圖2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD= ．

∴tan∠CPD= = ，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等邊三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2 ．

(ii)當x=3時，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

過點P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．

∵sin∠POH= = = ，

∴PH=2 ．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2 ，

∴PM=

=

=2 ．

綜上所述：當y=3時，P，M兩點之間的距離為2 或2 ．

【解析】（1）連接CO、CM，只需證到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需證到CM∥OP，只需證到CM是△AOP的中位線即可．（2）①易證△ODC∽△CDP，從而得到CD2=DPOD，進而得到y與x之間的函數關系式．由于當點P與點A重合時x=0，當點P與點B重合時x=4，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），因此自變量x的取值范圍為0＜x＜4．②當y=3時，得到﹣x2+4x=3，求出x．根據x的值可求出CD、PD的值，從而求出∠CPD，運用勾股定理等知識就可求出P，M兩點之間的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于解平行線的判定與性質的相關知識，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．