Question

【題目】如圖，在中， 是邊上的中線， 是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，連結和．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；

（3）是什么三角形時，四邊形是正方形，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）若AB⊥AC，則四邊形ADCF是菱形，證明見解析；

（3）當△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形時，四邊形ADCF是正方形.理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出EF=EB且AE=DE，即可得出答案；

（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據菱形的判定得出即可；

（3）根據等腰三角形性質求出AD⊥BC，得出∠ADC=90°，根據正方形的判定得出即可．

試題解析：（1）

∵AF∥BC，

∴∠1=∠2，

在△AEF和△DEB中， ，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴EF=EB且AE=DE，

∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AB⊥AC，則四邊形ADCF是菱形，證明如下：

∵四邊形ABDF是平行四邊形，

∴AB∥FD 且 AF=BD，

又∵BD=CD，

∴AF=DC且 AF∥CD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AB∥FD，AB⊥AC，

∴FD⊥AC，

∴平行四邊形ADCF是菱形；

（3）當△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形時，四邊形ADCF是正方形.理由是：

當∠BAC=90o時，由（2）得：四邊形ADCF是菱形，

由（1）知：四邊形ABDF是平行四邊，

∴AB=FD，

從而當AB=AC時有AC=FD，

∴菱形ADCF是正方形.