Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0），交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸，垂足為H，過點C作CF⊥l于F，連接DF，CE交于點G．

（1）求拋物線解析式；

（2）求線段DF的長；

（3）當DG=時，

①求tan∠CGD的值；

②試探究在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使∠EDP=45°？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=﹣x2+x+3；（2）DF==3；（3）①tan∠CGD=3；

②P點坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）把A點和B點坐標代入y=ax2+bx+3中得到關于a、b的方程組，然后解方程組求出a、b即可得到拋物線解析式；

（2）如圖1，先求出C點坐標，再根據旋轉的性質得到CD=DE，∠CDE=90°，再證明△OCD≌△HDE得到HD=OC=3，接著說明四邊形OCFH為矩形得到HF=OC=3，然后利用勾股定理計算DF；

（3）①利用△CDE和△DFH都是等腰直角三角形得到∠DCE=45°，∠DFH=45°，于是有∠DFC=45°，則可證明△DCG∽△DFC，根據相似的性質得=，∠DGC=∠DCF，接著利用相似比可計算出CD=，利用∠DCF=∠2得到∠CGD=∠2，然后在Rt△OCD中求出∠2的正切值即可得到tan∠CGD的值；

②根據△DCG∽△DFC得到HD=OC=3，EH=OD=1，則E（4，1），取CE的中點M，如圖2，利用線段的中點坐標公式得到M（2，2），根據等腰直角三角形的性質判斷DP經過CE的中點M，接下來利用待定系數法求出直線DP的解析式為y=2x﹣2，然后解方程組可得P點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0），

∴，解得，∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+3；

（2）當x=0時，y=﹣x2+x+3=3，則C（0，3），如圖1，

∵CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，

∴CD=DE，∠CDE=90°，

∵∠2+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△OCD和△HDE中

，

∴△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，

∵CF⊥BF，

∴四邊形OCFH為矩形，

∴HF=OC=3，

∴DF==3；

（3）①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如圖1，

∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，

∴∠DFC=45°，

而∠CDG=∠FDC，

∴△DCG∽△DFC，

∴，∠DGC=∠DCF，即，解得CD=，

∵CF∥OH，

∴∠DCF=∠2，

∴∠CGD=∠2，

在Rt△OCD中，OD===1，

∴tan∠2==3，

∴tan∠CGD=3；

②∵OD=1，

∴D（1，0），

∵△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，EH=OD=1，

∴E（4，1），

取CE的中點M，如圖2，則M（2，2），

∵△DCE為等腰直角三角形，∠EDP=45°，

∴DP經過CE的中點M，

設直線DP的解析式為y=mx+n，

把D（1，0），M（2，2）代入得，解得，

∴直線DP的解析式為y=2x﹣2，

解方程組得或（舍去），

∴②P點坐標為（，）．