Question

【題目】已知O是坐標原點，以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和點N．點F從點M出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連結PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E．設點F運動的時間是t秒（t>0）．

（1）求點E的坐標（用t表示）；

（2）在點F運動過程中，當PF=2OE時，求t的值．

（3）當t>1時，作點F關于點M的對稱點F′．點Q是線段MF′的中點，連結QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得△QOE與△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：當t＝，t＝，t＝2+時，使得△QOE與△PMF相似．

【解析】試題分析：

（1）連接PM、PN，由已知條件易證△PMF≌△PNE，由此可得NE=MF=t，則可得OE=t-1，結合點E在y軸的負半軸即可得到點E的坐標了；

（2）在Rt△PFM中，易得PF=，結合OE=即可得到方程，解此方程即可求得對應的t的值；

（3）由F(1＋t，0)，F和F′關于點M對稱可得F′(1－t，0)，結合點Q是線段MF′的中點可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2時，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP兩種情況討論計算可求得對應的t的值；在當t＞2時，分△OEQ ∽△MPF和△OEQ ∽△MFP兩種情況討論計算可求得對應的t的值.

試題解析：

（1）如下圖，連結PM，PN．

∵以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和點N，

∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，

∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，

∴∠NPE=∠MPF，

又∵PM=PN，

∴△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF=t，

∴OE=t-1，

∴E（0，1－t）；

（2）在直角△PMF中， ，

由PF=2OE得 ，

解得或．

（3）存在，理由如下；

∵F(1＋t，0)，F和F′關于點M對稱，

∴F′(1－t，0)，

∵點Q是MF′的中點，

∴Q(1－t，0)，

①當1＜t＜2時，如圖，有OQ＝1－t，

由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．

當△OEQ∽△MPF時，

∴ ，

∴ ，

解得，t＝或t＝ (舍去)；

當△OEQ∽△MFP時， ，

∴ ，解得，t＝或t＝ (舍去)；

②當t＞2時，如圖，有OQ＝t－1，

由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，

當△OEQ ∽△MPF， ，

∴ ，無解；

當△OEQ ∽△MFP時， ；

∴ ，

解得或（舍去）．

綜上所述，當t＝，t＝， 時，使得△QOE與△PMF相似．