Question

【題目】如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線交點處，∠QPN=α，將∠QPN繞點P旋轉，旋轉過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．

（1）如圖①，當α=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數量關系是________；

（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當α=60°時，（1）中的結論變為________，請給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，當點E落在線段AD的延長線上時，探究DE，DF，AD之間的數量關系（直接寫出結論，不用加以證明）.

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）DE+DF=AD，證明見解析；（3）DF﹣DE=AD，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意通過“角邊角”證明△APE≌△DPF，得到AE=DF，則可得DE+DF=AD；

（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，根據題意可證得△MDP是等邊三角形，進而可通過“角邊角”證明△MPE≌△DPF，得到ME=DF，則可得DE+DF=AD；

（3）如圖③，當點E落在AD的延長線上時，取AD的中點M，連接PM，同理（2）可證得△MPE≌△DPF，得到ME=DF，則可得DF﹣DE=AD.

（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中，

，

∴△APE≌△DPF(ASA)，

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM=PD，∠MPD=∠PME=∠PDF=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△PME和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF(ASA)，

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）如圖③，當點E落在AD的延長線上時，取AD的中點M，連接PM，

同（2）可證得，△MDP是等邊三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=AD．