Question

【題目】如圖，在中，的平分線AD交BC于點D，的兩邊分別與AB、AC相交于M、N兩點，且，若，則四邊形AMDN的面積為___________.

Answer 1

【答案】9 ．

【解析】

作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，依據HL判定Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；判定△DEM≌△DFN，可得S△DEM=S△DFN，進而得到S四邊形AMDN=S四邊形AEDF，求得S△ADF=AF×DF= ，即可得出結論．

解：作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF；

∵∠MDN+∠BAC=180°，
∴∠AMD+∠AND=180°，
又∵∠DNF+∠AND=180°
∴∠EMD=∠FND，
又∵∠DEM=∠DFN，DE=DF，
∴△DEM≌△DFN，
∴S△DEM=S△DFN，
∴S四邊形AMDN=S四邊形AEDF，
∵，AD平分∠BAC，
∴∠DAF=30°，

∴Rt△ADF中，DF=3，AF= =3 ，
∴S△ADF= AF×DF=×3×3= ，
∴S四邊形AMDN=S四邊形AEDF=2×S△ADF=9 ．

故答案為：9 ．