Question

已知，如圖，直角坐標(biāo)系中的等腰梯形ABCD，AB∥CD，下底AB在x軸上，D在y軸上，M為AD的中點(diǎn)，過(guò)O作腰BC的垂線交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：OM⊥OE；
（2）若等腰梯形中AD所在的直線的解析式為y=

4

3

x+4，且

DC

AB

=

1

4

，求過(guò)等腰梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）若點(diǎn)M在梯形ABCD內(nèi)沿水平方向移動(dòng)到N，且使四邊形MNCD為平行四邊形，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB與四邊形MNCD的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知OE⊥BC，則∠OBE+∠BOE=90°，欲求OM⊥OE，即∠MOA+∠BOE=90°，就必須先證得∠MOA=∠OBE，在Rt△OAD中，M是斜邊AD的中點(diǎn)，則OM=AM，得∠OAM=∠MOA，而等腰梯形ABCD的兩底角∠OAM=∠OBE，通過(guò)等量代換即可證得∠MOA=∠OBE，由此得證．
（2）根據(jù)直線AD的解析式，可求得點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，即可得到OA、OD的長(zhǎng)，已知了DC、AB的比例關(guān)系，結(jié)合等腰梯形的對(duì)稱性即可求得AB、CD的長(zhǎng)，從而得到C、B的坐標(biāo)，可根據(jù)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后再代入C點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易得線段AD中點(diǎn)M的坐標(biāo)；以DC為底，D、M縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求得平行四邊形MNCD的面積，即可得到△PAB的面積；在△ABP中，底邊AB為定長(zhǎng)，根據(jù)已求得的三角形面積，可得到P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，需注意的是P點(diǎn)縱坐標(biāo)有正、負(fù)兩種情況，需要分類討論．

解答：解：（1）∠A=∠B；
因?yàn)镸為直角三角形AOD的斜邊中點(diǎn)，
所以O(shè)M=MA，
則∠A=∠MOA，
所以∠MOA=∠B；
又因?yàn)镺E⊥BC，
所以∠B+∠BOE=90°，
所以∠MOA+∠BOE=90°，則OM⊥OE．

（2）可以求得D（0，4），A（-3，0）；
所以O(shè)A=3，OD=4，AB=8，DC=2，
所以B（5，0）、C（2，4）；
設(shè)過(guò)A、B、D的拋物線為y=a（x+3）（x-5），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，求出a=-

4

15

，
即y=-

4

15

（x+3）（x-5），
驗(yàn)證點(diǎn)C也在此拋物線上，所以所求的拋物線為y=-

4

15

（x+3）（x-5）．

（3）可以求出N（0.5，2），所以平行四邊形MNCD的面積為4；
設(shè)P（m，n），又AB=8，
所以

1

2

|n|×8=4，則|n|=1，所以n=±1；
當(dāng)n=1時(shí)，1=-

4

15

（x+3）（x-5），所以x=-

5

2

或

9

2

；
當(dāng)n=-1時(shí)，-1=-

4

15

（x+3）（x-5），所以x=

2± 79

2

；
因此這樣的點(diǎn)P有四個(gè)，分別為（-

5

2

，1）、（

9

2

，1）、（

2+ 79

2

，-1）、（

2- 79

2

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：直角三角形、等腰梯形的性質(zhì)，拋物線解析式的確定，圖形面積的求法等．要注意的是（3）題中，根據(jù)△ABP的面積求得的點(diǎn)P縱坐標(biāo)應(yīng)有正、負(fù)兩種情況，不要漏解．