Question

【題目】實驗探究：
（1）動手操作：
①如圖1，將一塊直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的兩條直角邊DE、DF分別經過點B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，則∠ABD+∠ACD=；
②如圖2，若直角三角板ABC不動，改變等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的兩條直角邊DE、DF仍然分別經過點B、C，那么∠ABD+∠ACD=
（2）猜想證明：
如圖3，∠BDC與∠A、∠B、∠C之間存在著什么關系，并說明理由；
（3）靈活應用：
請你直接利用以上結論，解決以下列問題：
①如圖4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度數；
（4）②如圖5，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點F1、F2、…、F9 ，
若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，則∠A的度數為 ．

Answer 1

【答案】
（1）60°；60°
（2）

猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC；

證明：連接BC，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC；

在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，

而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC，

∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC，

即：∠A+∠B+∠C=∠BDC

（3）

①由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，

∵∠BAC=40°，∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，

∴∠ABE+∠ACE=40°，

∴∠BEC=40°+40°=80°；

（4）40°
【解析】解：（1）動手操作：
①∵BC∥EF，
∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°，
∴∠ABD=90°﹣45°=45°，∠ACD=60°﹣45°=15°，
∴∠ABD+∠ACD=60°；
②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A=60°．
所以答案是60°；60°；
4）②由（2）可知：∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°，∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°，
∵∠ABF3= ∠ABD，∠ACF3= ∠ACD，
∴ABD+∠ACD=120°﹣∠A，∠A+ （∠ABD+∠ACD）=64°，
∴∠A+ =64°，
∴∠A=40°，
所以答案是40°．
【考點精析】掌握三角形的內角和外角是解答本題的根本，需要知道三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．