Question

（1998•臺州）如圖，ABCD為正方形，E、F分別在BC、CD上，且△AEF為正三角形，四邊形A′B′C′D′為△AEF的內接正方形，△A′E′F′為正方形A′B′C′D′的內接正三角形．
（1）試猜想與的大小關系，并證明你的結論；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于所有的正方形都相似，所有的等邊三角形也都相似，而相似三角形面積的比等于相似比的平方，所以只需比較與的大小．
（2）由于正△AEF既是正方形ABCD的內接正三角形，同時四邊形A′B′C′D′又為△AEF的內接正方形，所以將AE作為中間量，求出A′B′：AB的值．
解答：解：（1）相等．
∵正方形ABCD和等邊三角形AEF都是軸對稱圖形，直線AC是它的公共對稱軸，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE=，
同理，A′E′=，
∴=，
∵所有的正方形都相似，所有的等邊三角形也都相似，而相似三角形面積的比等于相似比的平方，
∴=，=，
∴=；

（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
設正方形ABCD的邊長是a，等邊三角形AEF邊長為x，
∵CE²+CF²=x²，∴CE=x，
∴BE=a-x，
∵x²=（a-x ）²+a²，
∴x²+2ax-4a²=0，
舍去負根，得x=（-）a，
∴AE=（-）AB，
設正方形A′B′C′D′的邊長是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F=（x-y），
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′=（x-y）：y=tan30°=：3，
∴y=（2-3）x，
∴A′B′=（2-3）AE，
∴===9-5，
∴=（9-5）²=312-180．
點評：本題主要考查了正方形與等邊三角形的性質的運用．