Question

如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價分別為每平方米60元、80元、40元．
探究1：如果木板邊長為1米，FC=

1

2

米，則一塊木板用墻紙的費用需

55

元；
探究2：如果木板邊長為2米，正方形EFCG的邊長為x米，一塊木板需用墻紙的費用為y元，
（1）用含x的代數式表示y（寫過程）．
（2）如果一塊木板需用墻紙的費用為225元，求正方形EFCG的邊長為多少米？

Answer 1

分析：探究1：根據條件可以分別求出正方形EFCG和三角形ABE的面積，從而求出需要C型墻紙的面積，根據各種墻紙的單價就可以求出需要的總費用．
探究2：（1）用x表示出三種不同的面積，利用三種墻紙不同的單價乘以面積就可以表示出總費用y．
（2）將225元代入（1）的解析式就可以求出x的值，就是正方形EFCG的邊長的邊長．

解答：解：探究1：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，
∴S_{正方形ABCD}=1，
∵四邊形EFCG是正方形，
∴EF=CF=

1

2

，
∴S_{正方形EFCG}=

1

4

，BF=

1

2

，
∴S_△ABE=

1× 1 2

2

=

1

4

∴空白部分的面積為：1-

1

4

-

1

4

=

1

2

，
∴這塊木板用墻紙的費用為：

1

4

×60+

1

4

×80+40×

1

2

=55元．
故答案為：55．

探究2：（1）∵木板邊長為2米，
∴木板的面積為：4平方米．
∵正方形EFCG的邊長為x米，
∴S_{正方形EFCG}=x²，S_△ABE=2-x，
∴空白的面積為：4-x²-（2-x）=2-x²+x，
y=60x²+80（2-x）+40（2-x²+x），
y=20x²-40x+240．

（2）當y=225時，
225=20x²-40x+240，解得：
x₁=

3

2

，x₂=

1

2

∴正方形EFCG的邊長為

3

2

或

1

2

米．

點評：本題考查了正方形的性質，平面幾何圖形的面積公式的計算，拋物線的解析式的求法．