Question

在平面直角坐標系中，A、B為反比例函數的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為，B點的對應點為．

（1）求旋轉后的圖象解析式；

（2）求、點的坐標；

（3）連結．動點從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示，∵點關于軸的對稱點為，與軸交于點，

∴⊥軸于，，

．…………………………1分

∴．

∴，

由題意可知 ， ．

∴．

過點作軸于，軸于，

在中， ,   ．

由矩形得．

∵點在第四象限∴．……………………………2分

   （2）設經過、、三點的拋物線的解析式為.

        依題意得 ………………………3分

        解得 ∴此拋物線的解析式為．………………………4分

（3）∵，

∴點為拋物線的頂點．

∴直線為拋物線的對稱軸，交于，

由題意可知 ，，

∴，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，．

∴．

①當點在上時，四邊形為等腰梯形.

∵∥∥，與不平行，∴四邊形為梯形.

要使梯形為等腰梯形，只需滿足.

∵,∴點在上.

由、求得直線的解析式為.

又∵點在拋物線上，∴.

解得（與點重合，舍）.∴點橫坐標為.

由、求得直線的解析式為.

∵點在上，∴ ．∴．………6分

②當點在上時，四邊形為平行四邊形，此時點坐標為. ……………………8分

綜上所述，當時，為等腰梯形；當時，為平行四邊形．