Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點，O為坐標原點

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內，求n的取值范圍；

（3）設點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+5；(2)0＜n＜3；(3)PC的長為7或17．

【解析】

試題分析：（1）根據A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式即可；（2）可先求得拋物線的頂點坐標，再利用坐標平移，可得平移后的坐標為（1+n，1），再由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式，可求得y=1時，對應的x的值，從而可求得n的取值范圍；（3）當點P在y軸負半軸上和在y軸正半軸上兩種情況，根據這兩種情況分別求得PC的長即可.

試題解析：（1）把A、B、C三點的坐標代入函數解析式可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+5；

（2）∵y=﹣x2+x+5，

∴拋物線頂點坐標為（1，），

∴當拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度后，得到的新拋物線的頂點M坐標為（1+n，1），

設直線BC解析式為y=kx+m，把B、C兩點坐標代入可得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新拋物線的頂點M在△ABC內，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范圍為0＜n＜3；

（3）當點P在y軸負半軸上時，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，

由題意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，

設PD=AD=m，則CD=AC+AD=+m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴，即，

解得m=，PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如圖2，在y軸正半軸上截取OP′=OP=12，連接AP′，

則∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也滿足題目條件，此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

綜上可知PC的長為7或17．