Question

如圖PAB、PCD是⊙O的兩條割線，AB是⊙O的直徑．
（1）如圖甲，若PA=8，PC=10，CD=6．
①求sin∠APC的值；②sin∠BOD=

 

；
（2）如圖乙，若AC∥OD．①求證：CD=BD；②若

PA

PC

=

4

5

，試求cos∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）作OE⊥CD于E，連接OC，作DF⊥PB于F．根據垂徑定理和勾股定理求得有關線段的長，再進一步根據銳角三角函數的概念求解；
（2）根據圓周角定理的推論和等弧對等弦進行證明，根據平行線等分線段定理進行求解．

解答：解：（1）作OE⊥CD于E，連接OC，作DF⊥PB于F．
①根據垂徑定理，得CE=3．設圓的半徑是r．
根據勾股定理，得
OP²-PE²=OC²-CE²，
（8+r）²-169=r²-9，
解得r=6．
則OE=3

3

．
則sin∠APC=

OE

OP

=

3 3

14

；
②設OF=x．
根據勾股定理，得
PD²-PF²=OD²-OF²，
256-（14+x）²=36-x²，
解得x=

6

7

．
所以DF=

2 273

7

．
所以sin∠BOD=

DF

OD

=

273

21

．

（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴

CD

OA

=

PC

PA

=

5

4

．
又CD=BD，AB=2OA，
∴

BD

AB

=

5

8

．
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

39

8

．

點評：此題綜合運用了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理的推論、等弧對等弦、平行線等分線段定理等，有一定的難度．