Question

【題目】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個正方形的邊長與面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證明：∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC

（2）解：如圖 設AD與EH交于點M．

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EF=DM，設正方形EFGH的邊長為x，

∵△AEH∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴x= ，

∴正方形EFGH的邊長為 cm，面積為 cm2

【解析】（1）根據EH∥BC即可證明．（2）如圖設AD與EH交于點M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設正方形邊長為x，再利用△AEH∽△ABC，得 = ，列出方程即可解決問題．本題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學會用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．